Curva de Lévy C: cómo se usa los fractales para analizar hechos económicos

Curva de Lévy C

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Curva de Lévy C

En matemática, la curva de Lévy C es un fractal autosimilar. Descrita por primera vez por Ernesto Cesàro en 1906¹ y G. Farber en 1910,² hoy lleva el nombre del matemático francés Paul Pierre Lévy quien, en 1938, fue el primero en exhibir sus propiedades de autosimilaridad y proveer una construcción geométrica.³

Construcción

Primeras ocho etapas en la construcción, sistema de Lindenmayer.

Sistema-L

Utilizando un sistema de Lindenmayer, la construcción de la curva de Lévy C parte de un segmento de recta, este segmento se toma por la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles, y se reemplaza por los dos catetos de dicho triángulo. De este modo, en esta etapa la curva consiste únicamente de dos segmentos de recta perpendiculares.
En la etapa siguiente, los dos segmentos son tomados como las hipotenusas de dos triángulos rectángulos isósceles, y se les reemplaza por los dos catetos correspondientes, y así sucesivamente.
Después de n etapas, la curva consistirá de 2ⁿ segmentos de recta, cada uno de longitud 2^n/2 con respecto al segmento de partida.
El sistema de Lindenmayer asociado puede describirse entonces del siguiente modo:

Variables:	F
Constantes:	+ −
Inicio:	F
Reglas:	F → +F−−F+

donde "F" significa "avanza recto", "+" significa "gira a la derecha 45°", y "−" significa "gira a la izquierda 45°". En el límite, el resultado de este proceso infinito es el fractal conocido como curva de Lévy C, dado su parecido con la letra C.

Variantes

Es posible construir variantes de esta curva utilizando ángulos diferentes de 45°, siempre y cuando sean menores a 60°.

Curva de Lévy C generada por IFS

Sistema IFS[editar]

La construcción de la curva de Lévy por medio de un sistema de funciones iteradas se basa en un conjunto de dosaplicaciones contractivas lineales de factor 1/√2. La primera introduce una rotación de 45°, y la segunda una rotación de -45°.

Propiedades

• La dimensión de Hausdorff de la curva es igual a 2 (contiene conjuntos abiertos).
• Su frontera tiene una dimensión estimada de 1.934007183Weisstein, Eric W. «LevyFractal». En Weisstein, Eric W.MathWorld (en inglés). Wolfram Research..
• Es un teselado del plano.⁴
• Es un caso particular de la curva de De Rham.

Véase también

• Curva del dragón
• Árbol de Pitágoras
• Anexo:Fractales por dimensión de Hausdorff

Referencias

1. Volver arriba↑ E. Cesaro, Fonctions continues sans dérivée, Archiv der Math. und Phys. 10 (1906) p. 57-63
2. Volver arriba↑ G. Farber, Über stetige Funktionen II, Mathematische Annalen, 69 (1910) p. 372-443.
3. Volver arriba↑ Paul Lévy, Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole (1938), reprinted in Classics on Fractals Gerald A. Edgar ed. (1993) Addison–Wesley, ISBN 0-201-58701-7
4. Volver arriba↑ Le pavage du plan par la courbe de Lévy, Dubuc Serge & Li Jun

Enlaces externos

• Esta obra deriva de la traducción de Lévy C curve de Wikipedia en inglés, concretamente de esta versión, publicada por sus editores bajo la Licencia de documentación libre de GNU y la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 3.0 Unported.
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