Teoría de Juegos y aplicaciones: El Dilema del Prisionero
María de Gracia Blázquez Vallejo
100025152@alumnos.uc3m.es
Carmen Virginia Gámez Jiménez
100025054@alumnos.uc3m.es
ABSTRACT
En este paper se realiza una introducción a la Teoría de Juegos clásica viendo sus orígenes y su evolución y exponiendo algunos conceptos básicos. Como caso particular se estudiará el clásico problema del Dilema del Prisionero. Se expondrán varias aplicaciones de este dilema en situaciones de la vida real y se analizarán sus posibles resultados.
Categories and Subject Descriptors H.4.3. [Internet Explorer] H.4.1. [Word Office] H.3.4. [World Wide Web]
General Terms Teoría
1. INTRODUCCIÓN
La importancia de los juegos desde la infancia ha sido destacada por los psicólogos como medio de formar la personalidad y de aprender de forma experimental a relacionarse con la sociedad y a resolver problemas y situaciones conflictivas. [2]
El estudio de los juegos ha inspirado a científicos de todos los tiempos para el desarrollo de modelos matemáticos y teorías. Una de las ramas de las matemáticas que surgió de los cálculos para diseñar estrategias vencedoras en los juegos de azar fue la estadística. Los conceptos propios de la estadística, como probabilidad o distribución, tienen aplicación en el análisis de juegos de azar o en situaciones en las que hay que tomar decisiones y correr riesgos ante componentes aleatorios.
Pero la teoría de juegos sólo se relaciona lejanamente con la estadística. Su objetivo es el estudio de los comportamientos estratégicos de los jugadores. En muchas situaciones del mundo real, tales como en relaciones políticas, sociales o económicas, aparecen escenarios en los que, al igual que ocurre en los juegos, el resultado depende de las distintas decisiones de los jugadores.
La teoría de juegos es una rama de la matemática con aplicaciones en economía, biología, sociología y psicología.[4] Examina el comportamiento estratégico de jugadores que interactúan y toman decisiones en un marco de incentivos formalizados, los juegos, y que están motivados por la maximización de la utilidad sabiendo que los otros jugadores son racionales. La utilidad final conseguida por cada uno de los jugadores depende de las acciones escogidas por el resto de los individuos.
Los juegos analizan matemáticamente situaciones en las que aparece un conflicto de intereses. Su objetivo es encontrar las opciones óptimas para que se consiga el resultado deseado en las circunstancias dadas.
La teoría de juegos ayuda a analizar problemas de optimización interactiva. Tiene muchas aplicaciones en las ciencias sociales. En la mayoría de los casos, la teoría de juegos se utiliza en situaciones que implican estrategias, conflictos de interés y trampas.
2. ORIGEN
La teoría de juegos comienza con los trabajos de Zermelo, el cual expone que ciertos juegos como el ajedrez son resolubles. En los años 20, Borel y Von Neumann analizan los equilibrios de tipo minimax para juegos de suma cero (juegos en los que un jugador gana lo que pierde su rival).
A pesar de ello, el primer avance importante no se produce hasta la publicación del libro de Neumman y Morgenstern The Theory of Games Behavior (años 40).[3] En este libro se divulgó una formalización general de juegos en su forma extendida y normal, se introdujo el concepto de estrategia en juegos extensivos y se propusieron aplicaciones.
Un desarrollo importante de estas ideas se produjo en Princeton en los años 50 cuando Luce y Raiffa difunden los resultados en su libro introductorio, Kuhn expone su definición del concepto de información en los juegos, Sharpley define su forma de atacar los juegos cooperativos (juegos en los que los jugadores pueden establecer contratos para actuar de forma cooperativa) y Nash define el llamado ‘equilibrio de Nash’, que permitió extender la teoría a juegos no-cooperativos más generales que los de suma cero.
Debido a que en esta época la mayor parte de las aplicaciones de los juegos tipo suma-cero iban destinadas a estrategias militares, fue el Departamento de Defensa de los EEUU quien financió las investigaciones.
Harsany, en los años 60 y 70, extendió la teoría de juegos a juegos de información incompleta (juegos en los que los jugadores no conocen todas las características del juego). Selten, ante la multiplicidad de equilibrios de Nash, definió el concepto de equilibrio perfecto en el subjuego para juegos de información completa y una generalización para el caso de juegos de información imperfecta
3. CONCEPTOS FUNDAMENTALES
3.1 Juego
En teoría de juegos, la palabra juego se refiere a un tipo especial de conflicto en el que toman parte un número de individuos o grupos. A estos individuos o grupos se les conoce como los jugadores.
En todo juego hay unas ciertas reglas propias de dicho juego. Estas reglas imponen las condiciones para que el juego comience, definen las posibles jugadas legales durante las distintas fases del juego, el número de jugadas que constituye una partida completa y los posibles resultados cuando la partida finaliza (recompensas para cada combinación de estrategias).
3.2 Jugada
En teoría de juegos, un movimiento o jugada define cómo progresa el juego de una fase a otra, desde la posición inicial hasta el último movimiento del juego. Las jugadas son el resultado de una decisión personal de cada jugador o pueden ser debidas al azar. Si son debidas al azar, puede determinarse la probabilidad de una cierta jugada.
Las jugadas de todos los jugadores pueden ser simultáneas o pueden ser alternativas entre los distintos jugadores de una manera determinada.
3.3 Ganancia
El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. La ganancia o resultado designa lo que ocurre cuando una partida termina. En algunos juegos el resultado consiste en declarar un ganador o un perdedor (caso del ajedrez o las damas). En otros juegos con apuestas la ganancia está determinada por la cantidad que ha apostado cada jugador y por el número de veces que un jugador gana a lo largo de la partida (caso del póquer).
Dentro de los juegos, obtendremos un resultado de equilibrio si ninguno de los jugadores puede mejorar su ganancia unilateralmente dado que los otros jugadores no modifican sus estrategias.
El resultado de un determinado juego puede representarse utilizando una matriz de resultados. En esta matriz se representan las posibilidades de cada uno de los jugadores y los resultados del juego en función de la opción escogida por cada uno de ellos. La forma de representar las posibilidades y resultados de cada uno de los jugadores en una matriz de resultados será explicada posteriormente.
3.4 Estrategia
Una estrategia es una lista con opciones óptimas para cada jugador en cualquier momento del juego. Se dice que un jugador tiene una estrategia cuando tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.
3.5 Formas normal y extendida
A la hora de estudiar los juegos, una de las diferencias más importantes es la forma en que estos están representados. Hay dos posibilidades: forma normal y extendida.[1]
3.5.1 Forma normal
Un juego está en forma normal cuando la lista de todos los posibles resultados de cada jugador, con todas las posibles combinaciones de estrategias, viene dada para cualquier secuencia de decisiones en el juego. Este tipo de juego no depende de la elección de estrategia por parte del jugador.
En un juego representado en forma normal, se muestran los jugadores, las estrategias, y las recompensas en una matriz. Un jugador elige las filas y el otro jugador elige las columnas. Cada jugador tiene diversas estrategias, que están especificadas por el número de filas y el número de columnas.
Las recompensas que obtienen cada uno de ellos se muestran en el interior de la matriz. El primer número del par dado para cada una de las opciones es la recompensa recibida por el jugador de las filas y el segundo es la recompensa del jugador de las columnas. La representación de una matriz de resultados para un juego en su forma normal sería la siguiente:
Tabla 1: Matriz de resultados Opción
