Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral II. El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz.
Sir Isaac Newton
Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Reino Unido). Murió el 31 de marzo de 1727 en Londres (Reino Unido).
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig (ahora Alemania). Murió el 14 de noviembre de 1716 en Hannover, (Alemania).
Los inventores del Cálculo
En el último tercio del siglo XVII, Newton (en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675) inventaron el Cálculo (de forma independiente):
Unificaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.
Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de "cálculo" que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier signi cado geométrico, que hacía casi automático, el uso de dichos conceptos generales.
Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.
Newton llamó a nuestra derivada una fluxión una razón de cambio o flujo; Leibniz vio la derivada como una razón de diferencias in nitesimales y la llamó el cociente diferencial.
Newton hizo sus primeros descubrimientos diez años antes que Leibniz quien, sin embargo, fue el primero en publicar sus resultados.
Newton y el cálculo de fluxiones
Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo in nitesimal datan de los llamados Anni Mirabiles 1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en la que Newton se había graduado como bachelor of arts en 1664, estuvo cerrada por la peste esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconoció cincuenta años después, ése fue el período más creativo de su vida.
A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series in nitas. A nales de ese mismo año, el método de uxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de uxiones y la relación entre cuadraturas y uxiones. En esos dos años también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. Newton tenía 24 años.
Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes numero terminorum in nitas, que Newton entregó a su maestro Barrow en 1669, y que puede considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos in nitesimales de manera similar a como hacía el propio Barrow.
Una segunda presentación del Cálculo es la que realiza Newton en el libro Methodus uxionum et serierum in nitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736. Newton considera cantidades variables que van uyendo con el tiempo, a las que llama uentes. Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las uentes, a las que llama uxiones, que son las derivadas respecto al tiempo de las uentes. Newton representaba a las primeras por letras x, y, z, . . . y a las segundas por letras punteadas x˙, y˙, z˙, . . . . Los incrementos de las uentes x, y, z, . . . , los representa por medio de las correspondientes uxiones en la forma xo˙ , yo˙ , zo˙ , . . . , y los llama momentos, donde o es entendido como un incremento in nitesimal de tiempo. Newton desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos problemas como determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y super cies, curvaturas, longitudes de arcos, centros de gravedad etc., a dos problemas fundamentales que pueden formularse tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:
Problema 1
Determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado según un camino dado. De otro modo: dada la relación entre las cantidades uentes, determinar la relación de las uxiones.
Problema 2
Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un tiempo dado. Matemáticamente: determinar la relación entre las uentes dada la relación entre las uxiones.
Hay que notar que Newton no piensa en términos de funciones con el signi cado actual de ese término, sino que imagina curvas o super cies descritas por las variables, o sea, considera relaciones entre las uentes del tipo f(x, y, z, . . .) = 0, donde f para él es una expresión analítica nita o in nita. Por tanto, el primer problema planteado puede verse como un problema de derivación implícita: supuesta conocida la expresión analítica que satisfacen las uentes f(x, y, z, . . .) = 0, obtener la expresión analítica F(x, y, z, x˙, y˙, z˙, . . .) = 0 que satisfacen las uxiones. Para este problema, Newton introdujo un algoritmo que sistematizaba los cálculos necesarios.
Por ejemplo, sea la curva de ecuación
x 3 − ax2 + axy − y 3 = 0
Sustituyendo x e y por x + xo˙ e y + yo˙ respectivamente, tenemos:
(x 3 + 3xox ˙ 2 + 3x˙ 2 o 2 x + x˙ 3 o 3 ) − a(x 2 + 2xox ˙ + x˙ 2 o 2 )+ + a(xy + xoy ˙ + yox ˙ + x˙yo¨ 2 ) − (y 3 + 3yox ˙ 2 + 3y˙ 2 o 2 y + y˙ 3 o 3 ) = 0
Teniendo en cuenta ahora que x 3 − ax2 + axy − y 3 = 0, dividiendo por o y despreciando los demás términos que contengan a o, resulta
3xx˙ 2 − 2axx˙ + axy˙ + axy˙ − 3yy˙ 2 = 0
Esta es la relación que satisfacen las uxiones. A partir de ella puede obtenerse la tangente a la curva x 3 − ax2 + axy − y 3 = 0 en cualquier punto (x, y) de la misma, que viene dada por:
y˙ 3x 2 − 2ax + ay 3y 2 − ax
--- = -----------------------------------
3y 2 − ax
Como ya hemos indicado, Newton aplica los resultados sobre uentes y uxiones a la resolución de multitud de problemas. Por ejemplo, con respecto a los problemas de máximos y mínimos, escribe:
Cuando una cantidad es la más grande o la más pequeña, en ese momento su uir ni crece ni decrece: si creciera, eso probaría que era menor y que lo que sigue sería más grande que lo que ahora es, y recíprocamente pasaría si decreciera. Así, calcúlese su uxión como se ha explicado en el problema 1 e iguálese a cero.
Newton usa el teorema fundamental del cálculo para realizar cuadraturas. Escribe:
Problema 9: Determinar el área de cualquier curva propuesta.
La resolución del problema está basada en el establecimiento de la relación entre la cantidad uente y su uxión (problema 2).
Newton reduce la integración al proceso inverso del cálculo de uxiones, esto es, al cálculo de primitivas.
El problema 2, es mucho más difícil que el problema 1, pues se trata de resolver una ecuación diferencial que puede ser muy general. Newton consideró varias posibilidades resolviendo algunos casos particulares. Para ello utilizó técnicas de cálculo de primitivas y de desarrollos en serie.
En De Quadratura Curvarum, escrita en 1676 y publicada en 1704, Newton propone fundamentar su cálculo de uxiones en lo que llama razones primera y última de incrementos evanescentes. De esa forma se re ere Newton a los cocientes de los incrementos in nitesimales de las cantidades variables, y su objetivo es determinarlos en el momento en que dichas cantidades nacen desde cero (razón primera) o se anulan (razón última). Un ejemplo ayudará a entender el signi cado de estas ideas. En la introducción de la citada obra, Newton calcula la uxión de x n . Para ello, considera un incremento o de forma que x pasa a x + o.
Entonces x n se convierte en ....
