EL MODELO ARROW-DEBREU ES UN MODELO ESTÁTICO

 

EL MODELO ARROW-DEBREU ES UN MODELO ESTÁTICO 

Francisco Lozano G., Edgar Villa P., Sergio Monsalve G. 

Edgar Villa es profesor de Economía en la Universidad Externado de Colombia. 

Francisco Lozano y Sergio Monsalve son profesores de la Universidad Nacional de Colombia, en los departamentos de Teoría y Política Económica  y Matemáticas y Estadística, respectivamente.

Resumen 

Francisco Lozano G., Edgar Villa P., Sergio Monsalve G. "El modelo Arrow-Debreu es un modelo estático", Cuadernos de Economia, v. XVI, n. 26, Bogotá, 1997, páginas 21-46. 

En este artículo, parte de un estudio más amplio, se hace una presentación del modelo Arrow-Debreu y se analizan algunas de sus limitaciones teóricas. Su objetivo principal es mostrar que el modelo es estático y que no pueden aerivarse consideraciones dlnámicas de él. Además, se muestra que las principales malas interpretaciones del modelo surgen al considArársele como un modelo dinámico. 

Abstract 

Francisco Lozano G., Edgar Villa P., Sergio Monsalve G. "The ArrowDebreu's Model is a Static Model", Cuadernos de Economia, v. XVI, n, 26, Bogotá, 1997, pages 21-46. This article, which tomis part of a wider study, presents the ArrowDebreu's model, analyzing some of its theoretical limitations. Its main objective is to show that the model is sta tic and that dynamic considerations can not be inferred from it. Besides, it shows that most misinterpretations of the model arise from considering it a dynamic modelo

INTRODUCCIÓN 

El problema central en la Teoría del Equilibrio General de una economía bajo competencia perfecta consiste en explicar un modelo en el que los precios de las mercancías son tornados exógenamente (es decir, que ninguno de los agentes de la economía tiene influencia sobre ellos), en el que los agentes buscan maximizar funciones objetivo (el beneficio en el caso de los productores y la satisfacción en el caso de los consumidores) y en el que existe igualdad entre la oferta y la demanda agregadas en todos los mercados. El primer modelo de la Teoría del Equilibrio General fue elaborado por León Walras [1874]. 

Walras y sus sucesores percibieron que su teoría sería poco sólida sin un argumento que soportara la existencia de por lo menos un equilibrio. Walras notó la correspondencia entre el número de precios por determinar y el número de ecuaciones que expresan la igualdad entre la oferta y la demanda; pero esto no era suficiente para determinar el equilibrio porque sólo los precios relativos afectan el comportamiento de los agentes y las ecuaciones no son necesariamente independientes. 

La Teoría del Equilibrio General identificó dos problemas adicionales al de la existencia del equilibrio: su estabilidad y su unicidad. Cada uno tuvo un desarrollo histórico diferente pero, de los tres, el más importante fue, quizás, el de la existencia. Es en el contexto de este problema que se enmarca el aporte del modelo Arrow-Debreu (en adelante A-D). 

Aun antes de la formulación del modelo A-D en los años cincuenta, ya se habían dado pasos hacia una prueba de existencia del equilibrio competitivo, fundamentalmente en el trabajo de Wald [1936] y Von Neumann [1937]. Sin embargo, debe notarse que antes de que se abordara de nuevo el problema de la existencia, los aportes se encaminaron más 24 CUADERNOS DE ECONOMÍA 26 hacia la estabilidad dinámica del equilibrio general. Fue Samuelson [1947] el que distinguió claramente entre equilibrio y estabilidad. Quizás la razón por la que el problema de la dinámica del equilibrio precedió en cierta medida al de su existencia sea que aunque exista un equilibrio competitivo, es necesario estudiar las condiciones que garantizan que una economía competitiva tienda en el tiempo a un equilibrio. 

Volviendo a la existencia del equilibrio general competitivo, el problema central desde Walras había sido demostrar la existencia de un sistema de precios que satisficiera las siguientes condiciones:  

1 Que igualara las ofertas y demandas agregadas en todos los mercados simultáneamente; 

2. Que cada consumidor satisficiera sus preferencias al máximo dentro de su conjunto de consumo y sujeto a su restricción presupuestaria; y, 

3. Que cada productor maximizara sus beneficios dentro de su conjunto de producción y bajo supuestos económicamente plausibles. 

Arrow y Oebreu [1954], y Oebreu [1959] formularon el teorema de existencia bajo hipótesis plausibles.' 

El modelo de equilibrio general A-O es un formato para resolver sólo algunas preguntas, o mejor, se creó para explicar el problema especificado anteriormente; sin embargo, a él se lo critica porque no puede dar cuenta de algún fenómeno económico en particular. Lo que sí debe enfatizarse es que el modelo A-O ha comprobado ser muy flexible en el tratamiento de algunos temas que originalmente fueron excluidos: la incertidumbre, los mercados de activos, los mercados incompletos, un número infinito de mercancías, bienes públicos y externalidades, entre otros. Debe decirse claramente, pues, que si el modelo A-O en sus versiones más generales no da cuenta de algún fenómeno económico, esto por sí mismo no quiere decir que la teoría 'falsee' en cualquier sentido la realidad. 

1 Varias de las hipótesis se han debilitado considerablemente; para un ejemplo, ver Debreu [1962].

En la sección 2 se hará una presentación del modelo A-D. La tercera tratará el comportamiento del consumidor y establecerá las condiciones bajo las que la correspondencia de demanda es hemicontinua superior. El comportamiento del productor se analizará en la sección 4 cuyo objetivo básico es mostrar la hemicontinuidad superior de la correspondencia de oferta. En la sección 5 se presentará al subastador como un agente que maximiza cierta función objetivo: el valor del exceso de de manda agregada. En la sección 6 se definirán las nociones de economía, de economía de propiedad privada y de equilibrio y se presentará el Teorema de Existencia del Equilibrio, siguiendo a Debreu [1959]. 

En la sección 7 se define la noción de Óptimo de Pareto y se presentan los dos teoremas de la Economía del Bienestar: se muestra que éstos no se cumplen exclusivamente para una economía de propiedad privada. En la sección 8 se introduce el concepto de cuasi-equilibrio que permite debilitar algunas de las hipótesis del Teorema de Existencia del Equilibrio; además, sé muescan condiciones suficientes para garantizar la existencia del equilibrio utilizando técnicas del cálculo diferencial. Por último, en la sección 9 se comentan ciertas limitaciones del modelo A-O y algunas conclusiones erróneas que de él se han derivado. 

CARACTERÍSTICAS DEL MODELO ARROW-DEBREU 

La economía se desarrolla en un período de tiempo previamente establecido y que se divide en un número finito de intervalos llamados fechas. El espacio en el que se desarrolla la actividad económica se divide, a su vez, en un número finito de regiones llamadas lugares. Así, una mercancía del tipo A-O es un bien o servicio que se caracteriza por sus propiedades físicas y por la fecha y el lugar en los que se encuentra disponible. Por ejemplo, dos bienes con características físicas idénticas en una fecha determinada pero situados en dos lugares diferentes, se consideran dos mercancías diferentes. De forma análoga, dos bienes idénticos físicamente y localizados en un mismo lugar pero en dos fechas diferentes, representan dos mercancías distintas.é 

Ahora bien, la cantidad de cada mercancía se representa por un número real y su precio es un número real asociado a ella. Esta definición de precio no hace referencia a ninguna unidad monetaria. Existe un número entero positivo 1de mercancías. Un sistema de precios p es un punto de R 1 • 

De otra parte, la economía está conformada por dos sectores: un número finito de consumidores y un número finito de productores. El comportamiento de cada uno de los agentes se explica como el proceso de maximizar una función objetivo sujeta a restricciones: el consumidor maximizará su satisfacción sujeto a la restricción de presupuesto, y el productor intentará maximizar sus beneficios sujeto a la restricción de sus posibilidades de producción.

2 También podrían incluirse los diversos estados de la naturaleza en la definición de mercancía y tratarse, con el aparato analítico que se desarrollará más adelante, el problema de la incertidumbre. ASÍ, "una sombrilla en una fecha y lugar específicos será una mercancía diferente si el día es soleado o lluvioso".

Finalmente, el modelo A -D es un modelo estático definido para un período previamente determinado. Walras creó de manera exógena un agente, llamado subastador, quien al comienzo del período emite unos precios para cada una de las mercancías. El objetivo del subastador es maximizar la función del valor del exceso de demanda. Esta es su función de utilidad y debe escoger un sistema de precios que la maximice. 

La función de este último agente, no proviene de un comportamiento racional: los consumidores y productores buscan maximizar sus funciones de utilidad y beneficio, objetivos que pueden considerarse plausibles; pero la maximización de la función del valor del exceso de demanda es una hipótesis exógena que no se deriva del comportamiento racional de los agentes individuales. No obstante, aunque el objetivo del subastador no provenga de un comportamiento racional, una vez que se acepta su papel de maximizar la función del valor del exceso de demanda, él es un agente como cualquier otro, consumidor o productor. Este comportamiento del subastador refleja la conocida regla de la ley de la oferta y la demanda, es decir, ante un exceso de demanda en el k-ésimo mercado, su precio se incrementa, y ante un exceso de oferta, su precio disminuye. Sin embargo, el subastador no hace verdaderamente dinámico el modelo A-D. 

EL COMPORTAMIENTO DEL CONSUMIDOR 

Un consumidor es, en general, un individuo o un grupo de individuos (una familia) con un objetivo unificado. El objetivo de cada consumidor es elegir un plan de consumo, es decir, una especificación de las cantidades de bienes a consumir y de las cantidades de trabajo a ofrecer al comienzo del período (y para todo el período) de forma tal que se satisfagan de la mejor forma posible sus preferencias. Las cantidades de bienes a consumir se representan mediante números positivos, y las cantidades de las distintas clases de trabajo a ofrecer se representan mediante números negativos. Al conjunto de todos los planes de consumo se le denomina conjunto de consumo. Bajo ciertas condiciones, que más adelante se precisarán, el problema que debe resolver el consumidor puede plantearse como la maximización de una función llamada de utilidad que representa sus preferencias sobre el conjunto de 'consurno. 

Existe un número entero positivo m de consumidores. Cada consumidor está indizado por i = 1, 2, ..., m. El i-ésimo consumidor elige un vector, su plan de consumo Xi, en un subconjunto no vacío de R1 , su conjunto de consumo Xi,Dado un consumo Xipara cada consumidor, X= L¡Xise llama el consumo total; el conjunto X = L¡ Xi se llama el conjunto de consumo agregado. Supondremos aquí, para efectos de la prueba de existencia del equilibrio, que: 

para todo i 

X, es cerrado; 

X¡ es convexo; 

X, tiene una cota inferior para s ¡; 

Sobre Xr se define un preorden completo ='¡ tal que: 

No existe consumo de saciedad en X¡; [b.l]